Chọn A

- Ta có: 

- Suy ra AB là hình chiếu của AC lên (ABD).

- Do đó: 

a.

Do \(AB=AC\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

\(\Rightarrow AM\) là trung tuyến đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow AM\perp BC\) (1)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AD\perp AB\left(gt\right)\\AD\perp AC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AD\perp BC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow BC\perp\left(ADM\right)\)

b.

Từ A kẻ \(AE\perp DM\) (E thuộc DM)

Do \(BC\perp\left(ADM\right)\Rightarrow BC\perp AE\)

\(\Rightarrow AE\perp\left(BCD\right)\Rightarrow AE=d\left(A;\left(BCD\right)\right)\)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5\sqrt{2}\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông ADM:

\(AE=\dfrac{AD.AM}{\sqrt{AD^2+AM^2}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\)

c.

Do \(AD\perp\left(ABC\right)\) theo cmt \(\Rightarrow AM\) là hình chiếu vuông góc của DM lên (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{DMA}\) là góc giữa DM và (ABC)

\(tan\widehat{DMA}=\dfrac{AD}{AM}=\sqrt{2}\Rightarrow\widehat{DMA}\approx54^044'\)

Loại phương án A và B vì BC và CD không phải là hình chiếu của CM trên (BCD)

Phương án C đúng vì :

Đáp án C

Đáp án C

Gọi M là trung điểm của

B C ⇒ A M ⊥ B C D M ⊥ B C ⇒ B C ⊥ A D M

Suy ra

A B C ; D B C ^ = A M ; D M ^ = A D M ^ = φ  

Gọi O là hình chiếu của A lên

mặt phẳng  B C D

⇒ O  là trọng tâm của tam giác BCD

⇒ O M = D M 3 = 1 3 . a 3 2 = a 3 6  

Tam giác AMO vuông tại O, có

cos A M D ^ = O M A M = a 3 6 : a 3 2 = 1 3  

Vậy  cos φ = 1 3

Đáp án C

Giải thích

Ta có CB  ⊥ (ABD) nên góc giữa CD và (ABD) là góc CBD ,

góc giữa AC và (ABD) là góc CAB

 Ta lại có AB ⊥ (BCD) nên góc giữa AC và (BCD) là góc ACB

Đáp án A

Góc giữa AC với mặt phẳng (ABD) là góc KAC vì CK ⊥ (ABD) nên AK là hình chiếu của AC trên mặt phẳng (ABD). 

Đáp án C